数学机械化中的AC=BD模式与非线性科学

成果摘要：
在国家重点基础发展规划项目－－九七三项目“数学机械化与自动推理平台”和“数学机械化及其在信息技术中的应用”及国家自然科学基金“求解力学问题的代数化和机械化系统”的资助下，以数学机械化思想为指导，在我们自己提出的AC=BD模式的框架下，主要完成了如下内容：提出了方程求解的AC=BD模式，并发展了一系列求C-D对的方法。提出和改进一系列有效的构造性的机械化方法，构造出大批具有重要物理意义的PDE(s)的大量的孤波解、奇性解、有理解、类孤子解、类多孤子解等有意义的精确解。在可积系统方面提出一类新的带有任意常数的谱问题，并导出了联系多个重要物理方程的方程族，并证明在Liouville意义下可积并具有多Hamiltion结构；在理论上发展了向量形式的loop代数并应用于构造多位势函数的可积方程族及其Hamilton结构；利用约束变分方法得到了二次型恒等式，它是屠的迹恒等式的推广；基于Loop代数的一个新的基，通过构造一个新的等谱问，得到多类可积耦合系统。给出了一套新的微分消元技巧，利用这些技巧不仅可以把任意线性算子方程组（包括交换和非交换两种情形）化为对角形，而且可将一类非线性算子方程组化为对角形。基于backstep思想，提出了一类连续/离散混沌系统的Q-S同步算法，给出了该算法的符号—数值计算程序包；基于已知的著名三维Chen混沌系统，提出了新的超混沌系统，并提出了很多有效的控制器，提出了具有双混沌系统的完全和滞后同步的有效的控制器。本项目的目的是把数学机械化的理论和方法应用到非线性科学尤其是孤立子理论中，发展求解微分方程的代数化和机械化系统，为该领域的研究提供一些系统的理论和方法。